miércoles, 9 de junio de 2010



¿que es una fracción?

Alrededor de 3.000 años antes de Cristo, los egipcios crearon una manera de escribir algunos de los números que hoy llamamos reaccionarios. Sólo escribían números reaccionarios de la forma

Fue para ellos necesario crear estos símbolos, pues en el trabajo cotidiano, especialmente en las mediciones de los terrenos, aparecían cantidades que no eran enteras.
La medición de los terrenos de los agricultores que cultivaban la tierra ubicada a las márgenes del río Nilo tenía gran importancia en Egiptano, puesto que anualmente, cuando el río crecía, inundaba la mayor parte de estos terrenos y borraba sus linderos. Después de la crecida, cuando el río volvía a su nivel usual, los funcionarios del gobierno hacían las mediciones necesarias para restablecer los linderos de cada parcela, y en este oficio de medir hacía falta conocer muy bien los números, incluyendo las fracciones.

Una fracción en el lenguaje común significa una porción o parte de un todo. En Matemáticas se usa también el término fracción para nombrar números que son una parte de la unidad o también aquellos números que sean iguales a un número entero más una parte de la unidad, escritos de la forma

con a y b números enteros, y . En el lenguaje común se usa la idea de fracción constantemente, por ejemplo, cuando se dice:
"Tengo sólo MEDIA hora para resolver este examen''.
"Para hacer la torta con tu receta, necesito TRES CUARTOS de taza de leche''.
"La TERCERA parte de los estudiantes aprobó con 20 el examen de Matemáticas''.
"Te daré la CUARTA parte del dinero que gane por este trabajo''.
Para reflexionar:
¿Sabes exactamente lo que cada una de estas expresiones significa?
¿Podrías escribir esas mismas oraciones usando fracciones?
Cuando una fracción es una parte de la unidad, se dice que la fracción es propia. Por ejemplo, las fracciones siguientes son propias:

Más adelante se verá por qué todas estas fracciones son propias, es decir, son una parte de la unidad.
En toda fracción distinguimos al numerador, que es el número de arriba, del denominador, el número de abajo.
El denominador indica cuál es el número de partes en que se ha dividido la unidad, y el numerador indica cuántas partes se toman.

Por ejemplo:
En la fracción , el denominador es el número 3, e indica en cuántos pedazos iguales se divide la unidad, y el número 1 es el numerador, que nos indica cuántos de estos pedazos constituyen dicha fracción.
En la fracción , se divide la unidad en 7 partes iguales, y se toman 2 de esas partes.
Puede ocurrir que el numerador sea igual 0, y en ese caso, la fracción total es igual a 0. Por ejemplo:

Es decir, cuando se habla, en la definición anterior, de "parte de la unidad'', se incluye la posibilidad del 0, y cuando se habla de "un número entero más una parte de la unidad'', si esa parte se hace igual a 0, entonces la fracción en ese caso es un número entero.
En otras palabras, los números enteros se pueden escribir como fracciones, y el 0 también. Por ejemplo:

Cuando en el denominador está el número 1, esto indica que la unidad no se ha dividido, sino que se toma completa, y en este caso, el numerador indica cuántas unidades se toman. Por ejemplo: unidades, unidades. Es decir, cualquier número natural n se puede escribir como:
Podría preguntarse qué ocurre cuando el denominador es 0. Tal como se han entendido las fracciones, una fracción como simplemente no tiene sentido. Por eso, dicen los matemáticos que una fracción con el número 0 en el denominador NO ESTÁ DEFINIDA. Esto quiere decir que una expresión como no tiene ningún significado matemático. Las Matemáticas utilizan una gran cantidad de símbolos que tienen un significado preciso, de la misma manera como las palabras del castellano, tienen un significado preciso. Pero con las mismas letras que se usan para escribir en castellano, se pueden construir palabras sin significado. Por ejemplo, así como se reconoce que ``vrgunpldit'' es sólo un conjunto de letras agrupadas que no tienen sentido en castellano, así ven los matemáticos ciertas expresiones extrañas como , por ejemplo.
Fracciones impropias:
A toda fracción que sea igual a un número natural más una parte de la unidad se le llama fracción impropia.
Por ejemplo:
¿Qué tienen en común todas estas fracciones?
El numerador es mayor que el denominador en todas ellas. En la fracción
El denominador es 4 (unidad dividida en 4 partes iguales)
El numerador es 5 (se toman 5 partes).
Como 5 es mayor que 4 y son 4 las partes que componen la unidad, naturalmente es un número mayor que la unidad, como se ve claramente en la figura de la derecha.
Con frecuencia, se escribe:
Puede ahora concluirse que si el numerador de una fracción es menor que el denominador, esa fracción es propia, es decir, es menor que la unidad. Por ejemplo

¿Puedes explicar por qué estas fracciones son propias?
Si el numerador y el denominador son iguales, la fracción es igual a 1. Por ejemplo:

¿Puedes explicar por qué estas fracciones son iguales a 1?
Fracciones Equivalentes
Dos fracciones se llaman equivalentes cuando ambas representan la misma cantidad, como se verá en los ejemplos siguientes:

10/14 y 5/7 son, entonces fracciones equivalentes, pues, como se ve en el dibujo, representan la misma cantidad y por eso, se escribe:

Si ahora se subdivide cada séptima parte en 3 partes iguales, el rectángulo quedará dividido en 21 partes:
Si se considera se estarán tomando 5 partes, cada unade ellas igual a . Con la nueva división de la unidad en 21 partes, esto es lo mismo que tomar 15/21, pues es el número de partes más pequeñas que tomamos (3 por cada una de las 5 partes grandes que teníamos al principio).
Es decir, si el denominador se multiplica por 3, el numerador debe multiplicarse también por 3 para que las dos fracciones sean equivalentes:

En general, si se tiene una fracción cualquiera, y se multiplican el numerador y el denominador por el mismo número se obtiene otra fracción que es equivalente a la primera.
Otro ejemplo:


se puede ver que es equivalente a , de la manera siguiente:
Al subdividir en dos cada sector que representa del círculo
se obtienen dos sectores que equivalen, cada uno, a del círculo.
Se aprecia claramente que del círculo es lo mismo que del mismo círculo


Para reflexionar
¿Podrías decir cuántas fracciones equivalentes a existen?
Fracciones Irreducibles:
se ha visto que es posible encontrar una fracción equivalente a otra dada, multiplicando numerador y denominador de esa fracción dada por un mismo número:

Si la fracción dada fuera y se quisiera encontrar una fracción equivalente a ella, puede obtenerse dividiendo el numerador y el denominador por 3:
En este caso, ya se sabía que dividir por 3 numerador y denominador produciría una fracción equivalente a 6/9, pues sólo se realizó el proceso inverso al anterior.
En general, para poder encontrar fracciones equivalentes a una dada, dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número, es necesario que numerador y denominador sean múltiplos de ese número. Por ejemplo:

En este caso, 4 y 6 son ambos múltiplos de 2. Si se considera esta otra fracción:

En este caso, no existe ningún número mayor que 1 que sea divisor de 5 y 8 a la vez.
No es posible, entonces, encontrar fracciones equivalentes a dividiendo numerador y denominador por el mismo número. Cuando esto ocurre, se dice que la fracción es irreducible. El proceso de encontrar fracciones equivalentes a una dada, dividiendo numerador y denominador por el mismo número, se llama simplificación de fracciones.
De nuevo se considerarán las fracciones impropias. Se ha visto que una fracción impropia representa una cantidad que es mayor o igual que la unidad. También se sabe que en toda fracción impropia, el numerador es mayor o igual que el denominador.
Para realizar ciertas operaciones, es conveniente escribir una fracción impropia como un número natural más una fracción propia, como por ejemplo:

En este caso es fácil ver por qué es cierta esa igualdad.
Se sabe que cada 3/3 equivale a la unidad y al tomar 8/3 se está tomando dos veces 3/3, es decir, 2 unidades y quedan 2/3 más.
En otras palabras, se usa el hecho de que con resto 2.
Por eso,
Para escribir la fracción impropia como un número natural más una fracción propia, se hace lo siguiente:
se divide
se obtiene un cociente igual a 7 y resto igual a 6, lo cual quiere decir que

Esto se hace porque una fracción cualquiera también representa una división:

Cuando se piensa que una fracción representa también una división se hace más clara la razón por la cual dos fracciones como 3/5 y 18/30 son equivalentes.
Para algunos resulta un poco extraño el hecho de que 3/5 = 18/30, siendo 3 distinto de 18 y 5 distinto de 30.Lo que ocurre es que si se divide 3/5 el resultado será igual al que se obtiene al dividir 18/30, sencillamente porque 18/30 = [(3)(6)] / [(5)(6)].En toda división de un número entre otro, si se multiplican el dividendo y el divisor por un mismo número, el resultado de la división no se altera.Algo parecido ocurre con la resta: 14 - 6 = 8 se suma 7 al minuendo y al sustraendo:
(14+7) - (6+7) = 8 La diferencia no se altera. Fracción propia

Una fracción propia es una fracción, distinta de cero, en la cual su numerador es menor que su denominador. En consecuencia, una fracción propia tiene un valor menor que la unidad.
Una fracción propia da cuenta de la idea de una porción o parte de un todo. Por ejemplo, en la expresión "tres cuartos superficie de la Tierra es agua", o "sólo la mitad de los asistentes pudo participar del concurso". De ahí se da la relación a un porcentaje.
El producto entre dos fracciones propias es siempre una fracción propia.
Ejemplos

fraccion impropia

Una fracción impropia es una fracción que no es propia y que está escrita en la forma numerador/denominador.
Una fracción mixta es una forma especial de escritura de las fracciones impropias respecto de las fracciones propias. En efecto, como una fracción impropia s / d es igual a un número entero más una fracción propia, podemos escribir:
donde E y n son el cociente entero y el resto de la división entre s y d, y se cumple por tanto: s = Ed + n
Por ejemplo:
, y 16 = 3 * 5 + 1
Las expresiones con fracciones mixtas se observan usualmente en recetarios, donde puede leerse: "tres y media (31 / 2) cucharadas de ...".
Las fracciones propias con numerador 1 se denominan fracciones unitarias, y se designan por un medio, un tercio, etcétera

lunes, 7 de junio de 2010

QUE SON LOS NUMEROS



Los números
Antes de que surgieran los números el hombre se las ingenió para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena.
Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4.000 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre de escritura cuneiforme.
Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, por los Griegos y Romanos. Los griegos emplearon simplemente las letras de su alfabeto, mientras que los Romanos además de las letras utilizaron algunos símbolos. En cada actividad humana sea técnica científica o simplemente práctica los números han jugado un papel muy importante... los números siempre están presentes y gobiernan todas las cosas.
Aun en las tareas más simples como son la preparación de una comida, hacer compras, medir el tiempo de un juego, comprar el pan, ir a la cantina escolar, colocar los platos y cubiertos sobre la mesa, mirar la talla de la franela que nos gusta para que mamá la compre, en fin, en todas y cada una de las acciones del ser humano se encuentran presente los números. Sería interesante conocer un poco más sobre los números, existen los Números naturales.